Question

13．（1）已知二次函数满足f（3x+1）=9x²+6x+5，求f（x）的解析式．
（2）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（0）=1，且对于任意的实数a，b有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由f（3x+1）=（3x+1）²+4，即可得到函数的解析式，
（2）由题意可知：f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（0）=1，且对任意实数a、b，有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）．令a=b=x，问题得以解决．

解答 解（1）因为f（3x+1）=9x²+6x+5=（3x+1）²+4，
所以f（x）=x²+4，
（2）令a=b=x，则f（0）=f（x）-x（2x-x+1），
又f（0）=1，
所以f（x）=1+x（x+1）
即f（x）=x²+x+1

点评 本题考查的是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了特值法的思想，同时特殊函数值在解答此类问题时意义重大．值得同学们体会和反思．