Question

5．AF是圆O的直径，B，C是圆上两点，AB与AC的延长线分别交过点F的切线于点D，E．求证：
（I）B，C，D，E四点共圆；
（II）AB•AD=AC•AE．

Answer 1

分析 （I）连接BF，利用切线的性质得到AF与DE垂直，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ABF为直角，进而得到∠AFB=∠D，根据圆周角定理得到∠AFB=∠ACB，等量代换得到∠ACB=∠D，再由∠ACB为四边形BCED的外角，故B，C，D，E四点共圆；
（II）由圆内接四边形外角等于它的内对角得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似确定出三角形ABC与三角形AED相似，由相似得比例，即可得证．

解答 证明：（I）连接BF，
∵AF为圆O的直径，DE与圆O相切于点F，
∴AF⊥DE，
∵∵点B在圆上，
∴∠ABF=90°，∠AFB=∠D，
∵∠AFB=∠ACB，
∴∠ACB=∠D，
∵∠ACB为四边形BDEC的一个外角，
∴B，C，D，E四点共圆；
（II）由（I）得∠ACB=∠D，∠ABC=∠E，
∴△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
则AB•AD=AC•AE．

点评 此题考查了与圆有关的比例线段，圆周角定理，圆内接四边形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．