Question

9．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 可设向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为θ，根据条件以及向量数量积的运算及计算公式即可得到$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}=8+8cosθ$，进而得到$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{8+8cosθ}$，从而便可进行数量积的计算求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）=\sqrt{8+8cosθ}=4+4cosθ$，这样便可解出cosθ，而由题意可判断0＜θ＜π，这样即可求出θ的值．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，根据条件：
$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$
=4+8cosθ+4
=8+8cosθ；
∴$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{8+8cosθ}$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{3}$
=$\sqrt{8+8cosθ}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=4+4cosθ；
即$\sqrt{8+8cosθ}=4+4cosθ$，两边平方并整理得：
2cos²θ+3cosθ+1=0；
解得$cosθ=-\frac{1}{2}$，或-1；
又根据题意，0＜θ＜π；
∴$θ=\frac{2π}{3}$．
故选D．

点评 考查向量夹角的概念，向量加法和数乘的几何意义，以及向量数量积的运算及计算公式，无理方程及一元二次方程的解法，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．