题目内容

18．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

分析 （Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=$\frac{11}{25}$，P（X≤19）=$\frac{17}{25}$．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．
（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=$\frac{17}{25}$．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．

解答 解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X=16）=（$\frac{20}{100}$）2=$\frac{1}{25}$，
P（X=17）=$\frac{20}{100}×\frac{40}{100}×2=\frac{4}{25}$，
P（X=18）=（$\frac{40}{100}$）2+2（$\frac{20}{100}$）2=$\frac{6}{25}$，
P（X=19）=$2×\frac{40}{100}×\frac{20}{100}+2×（\frac{20}{100}）^{2}$=$\frac{6}{25}$，
P（X=20）=$（\frac{20}{100}）^{2}+2×\frac{40}{100}×\frac{20}{100}$=$\frac{5}{25}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=21）=$2×（\frac{20}{100}）^{2}$=$\frac{2}{25}$，
P（X=22）=$（\frac{20}{100}）^{2}=\frac{1}{25}$，
∴X的分布列为：

 X 16 17 18 19 20 21 22
 P $\frac{1}{25}$ $\frac{4}{25}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{2}{25}$ $\frac{1}{25}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）
=$\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}$=$\frac{11}{25}$．
P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=$\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}$+$\frac{6}{25}$=$\frac{17}{25}$．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=$\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}$+$\frac{6}{25}$=$\frac{17}{25}$．
买19个所需费用期望：
EX1=200×$19×\frac{17}{25}$+（200×19+500）×$\frac{5}{25}$+（200×19+500×2）×$\frac{2}{25}$+（200×19+500×3）×$\frac{1}{25}$=4040，
买20个所需费用期望：
EX2=$200×20×\frac{22}{25}$+（200×20+500）×$\frac{2}{25}$+（200×20+2×500）×$\frac{1}{25}$=4080，
∵EX1＜EX2，
∴买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，
当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，
∴买19个更合适．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．

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