Question

已知函数f（x）=

ax+b

x2+1

（其中常数a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数单调性的判断与证明,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）是奇函数可得

-x+b

x2+1

=-

x+b

x2+1

，从而解出b，代入求极值点；
（Ⅱ）求导f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，则可化f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

＞0为ax²+2bx-a＜0；从而讨论a，b确定不等式ax²+2bx-a＜0的解集即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，
∴对x∈R，f（-x）=-f（x）成立，
∴

-x+b

x2+1

=-

x+b

x2+1

，
∴2b=0，
∴b=0；
∴f（x）=

x

x2+1

，得f′（x）=

-x2+1

(x2+1)2

；
令f′（x）=0得x=±1；
经检验x=-1是函数f（x）的极小值点，x=1是函数f（x）的极大值点．
（Ⅱ）∵f（x）=

ax+b

x2+1

，
∴f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
由f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

＞0得ax²+2bx-a＜0；
①当a=b=0时，f（x）=0，不存在单调递增区间；
②当a=0，b≠0时，
＜ⅰ＞b＞0时，单调递增区间为（-∞，0）；
＜ⅱ＞b＜0时，单调递增区间为（0，+∞）；
③当a＞0时，方程ax²+2bx-a=0的两根x=

-b± a2+b2

a

；
单调递增区间为（

-b- a2+b2

a

，

-b+ a2+b2

a

）；
④当a＜0时，单调递增区间为（-∞，

-b- a2+b2

a

）和（

-b+ a2+b2

a

，+∞）．

点评：本题考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．属于难题．