Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥PD；
（Ⅱ）若PA=PD=AB=2，问当AD为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求其最大体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AB⊥面PAD，由此能证明AB⊥PD．
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，由此能推导出AD=2

2

时，V_max=

8

3

．

解答： （Ⅰ）证明：∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，
又∵PD?面PAD，
∴AB⊥PD．

（Ⅱ）解：取AD中点O，连结PO，
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
由（Ⅰ）有PO⊥面ABCD，
设AD=x．PO=

AP2-AO2

=

4- 1 4 x2

=

1

2

16-x2

，
V_P-ABCD=

1

3

×OP×S△ABCD
=

1

3

×2x×

1

2

16-x2

=

1

3

16x2-x4

．
=

1

3

-(x2-8)2+64

，
∴当x²=8，即x=2

2

时，V_max=

8

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查当AD为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大，并求其最大体积，解题时要注意空间思维能力的培养．