Question

已知函数f（x）=alnx+bx的图象在点（1，-3）处的切线的方程为y=-2x-1．
（1）若对任意x∈[

1

3

，+∞）有f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若函数y=f（x）+x²+2在区间[k，+∞）内有零点，求实数k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

a

x

+b，（x＞0）．由于函数f（x）的图象在点（1，-3）处的切线的方程为y=-2x-1．可得f′（1）=-2，f（1）=-3，解出a，b．对任意x∈[

1

3

，+∞）有f（x）≤m恒成立?m≥f（x）_max，x∈[

1

3

，+∞）．利用研究函数的单调性极值与最值，即可得出f（x）_max．
（2）由（1）可得：g（x）=f（x）+x²+2=lnx+x²-3x+2．令g′（x）=0，解得x=

1

2

，1．列表如下，研究函数的单调性极值，画出图象即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

+b，（x＞0）．
∵函数f（x）的图象在点（1，-3）处的切线的方程为y=-2x-1．
∴f′（1）=-2，f（1）=-3，
∴

a+b=-2 b=-3

，解得b=-3，a=1．
∴f（x）=lnx-3x．
f′（x）=

1

x

-3=

-3(x- 1 3 )

x

，
∵x∈[

1

3

，+∞），∴f′（x）≤0．
∴当x=

1

3

时，函数f（x）取得最大值，f(

1

3

)=-ln3-1．
∵对任意x∈[

1

3

，+∞）有f（x）≤m恒成立?m≥f（x）_max，x∈[

1

3

，+∞）．
∴m≥-ln3-1．
∴实数m的取值范围是[-ln3-1，+∞）．
（2）由（1）可得：g（x）=f（x）+x²+2=lnx+x²-3x+2．
∴g′（x）=

1

x

+2x-3=

(2x-1)(x-1)

x

，
令g′（x）=0，解得x=

1

2

，1．
列表如下：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值g（1）=0；当x=

1

2

时，函数g（x）取得极大值f（

1

2

）=-ln2+

3

4

．
画出图象：
要满足函数y=f（x）+x²+2在区间[k，+∞）内有零点，
则实数k的最大值是1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、几何意义、函数的零点，考查了恒成立问题的等价转化实数，考查了推理能力与计算能力，属于难题．