Question

已知函数f（x）=x³+bx+c在点（1，f（1））处的切线方程为2x-y-2=0．
（1）求实数b、c的值；
（2）求函数g（x）=（f（x）-x³）e^x在区间[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意可得f（1）=0，f′（x）=3x²+b，从而可得

f(1)=1+b+c=0 f′(1)=3+b=2

，从而解实数b、c的值；
（2）化简g（x）=（f（x）-x³）e^x=（x³-x-x³）e^x=-xe^x，g′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1）；讨论函数g（x）在区间[t，t+1]上的单调性，从而求最大值．

解答： 解：（1）f（x）=x³+bx+c，f′（x）=3x²+b；
由题意，2×1-f（1）-2=0，
则f（1）=0；
从而可得，

f(1)=1+b+c=0 f′(1)=3+b=2

，
解得，b=-1，c=0；
（2）g（x）=（f（x）-x³）e^x=（x³-x-x³）e^x=-xe^x，
g′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1）；
①当t+1＜-1，即t＜-2时，g′（x）＞0；
故g_max（x）=g（t+1）=-（t+1）e^t+1；
②t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，
g（x）先增后减，
g_max（x）=g（-1）=e^-1；
③当t＞-1时，g′（x）＜0，
g_max（x）=g（t）=-te^t．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．