Question

10．已知关于θ的方程$\sqrt{3}sinθ+cosθ+a=0$在区间（0，2π）上有两个不相等的实数根α、β，则sin（α+β）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意变形可得a=-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=-2sin（β+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质可求对称轴，进而可求α+β的值，即可得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sinθ+cosθ+a=0，
∴a=-（$\sqrt{3}$sinθ+cosθ）=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），
由题意可得a=-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=-2sin（β+$\frac{π}{6}$），
∴α，β关于$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$对称，
∴α+β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{8π}{3}$，
∴sin（α+β）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．