Question

已知公比为q的等比数列{a_n}（n∈N^*）中，a₂=2，前三项的和为7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若0＜q＜1，设数列{b_n}满足b_n=a₁•a₂…a_n，n∈N^*，求使0＜b_n＜1的n的最小值．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知可得a₁和q的方程组，解方程组代入通项公式可得；
（Ⅱ）由题意易得a_n=（

1

2

）^n-3，可得b_n=(

1

2

)

n(n-5)

2

，由题意可得n的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

a2=a1q=2 a1+a1q+a1q2=7

，
解得a₁=1且q=2，或a₁=4且q=

1

2

，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1或a_n=（

1

2

）^n-3；
（Ⅱ）∵0＜q＜1，∴a_n=（

1

2

）^n-3；
∴b_n=a₁•a₂…•a_n=（

1

2

）^{-2-1+0+…+n-3}=(

1

2

)

n(n-5)

2

；
由0＜b_n＜1，即0＜(

1

2

)

n(n-5)

2

＜1，

n(n-5)

2

＞0，
解得n＞5，∴使0＜b_n＜1的n的最小值为6

点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．