Question

已知函数．
(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：．（，为自然对数的底数）

Answer 1

(1) 实数的取值范围为;(2)的取值范围为;(3) 见解析.

试题分析：(1)先利用导数求出函数在处取得唯一的极值，因为函数在区间上存在极值点，故；（2）根据条件可得，然后令，求出的最小值，即可解得的范围；（3）由（2）的结论可得，令，则有，分别令，则有
将这个不等式左右两边分别相加可得.
试题解析：（1）函数定义域为，，
由，当时，，当时，，
则在上单增，在上单减，函数在处取得唯一的极值。
由题意得，故所求实数的取值范围为    4分
(2) 当时，不等式．      6分
令，由题意，在恒成立。

令，则，当且仅当时取等号。
所以在上单调递增，
因此，则在上单调递增，
所以，即实数的取值范围为                 9分
（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，
即，             11分
令，则有．
分别令，则有，
将这个不等式左右两边分别相加，则得

故，从而．     14分