Question

已知函数与的图像都过点，且它们在点处有公共切线.
（1）求函数和的表达式及在点处的公切线方程；
（2）设，其中，求的单调区间.

Answer 1

（1），，；
（2）当时，F(x)的单调减区间是 单调增区间是；
当时，F(x)没有单调减区间，单调增区间是.

试题分析：(1)因为函数和有公共的切线，所以切线的斜率相同，又因为它们都过，所以可以列出方程，求出；（2）先求导数，求出函数的定义域，通过讨论的正负，求导求单调区间.
试题解析：(1)∵过点
∴，,                                        （2分）
∵，∴切线的斜率.
∵， （1）
又∵的图像过点∴ （2）
联立（1）（2）解得：                                （4分）
∴；切线方程为，即
∴，；切线为：      （6分）
（2）∵，
∴                            （9分）
①当时，， ∵，∴
又，∴当时， ；
当时，.
∴的单调减区间是 单调增区间是；       （11分）
②当时，显然没有单调减区间，单调增区间是.    （13分）