Question

已知函数，，且函数在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设点，当时，直线的斜率恒小于，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）根据函数在点处的切线方程为，这一条件分离出两个条件，然后根据这两个条件列有关和的二元一次方程组，解出和的值进而确定函数的解析式；（Ⅱ）先将直线的斜率利用点的坐标表示，然后建立以为自变量的函数，对参数进行分类讨论，即可求出参数的取值范围；（Ⅲ）证明不等式，构造函数
，等价转化为，借助极小值，但同时需要注意有些时候相应整体的代换.
试题解析：（Ⅰ），.   1分
函数在点处的切线方程为，
  即， 解得，   2分
.     3分
（Ⅱ）由、，得，
∴“当时，直线的斜率恒小于”当时，恒成立对恒成立.   4分
令，.
则，   5分
（ⅰ）当时，由，知恒成立，
∴在单调递增，
∴，不满足题意的要求.   6分
（ⅱ）当时，，，
，
∴当 ，；当，.
即在单调递增；在单调递减.
所以存在使得，不满足题意要求.   7分
（ⅲ）当时，，对于，恒成立，
∴在单调递减，恒有，满足题意要求. 8分
综上所述：当时，直线的斜率恒小于.   9分
（Ⅲ）证明：令，
则， 10分
，
函数在递增，在上的零点最多一个.11分
又，，
存在唯一的使得，   12分
且当时，；当时，.
即当时，；当时，.
在递减，在递增，
从而.    13分
由得且，，
，从而证得.     14分