Question

11．已知n∈N^*，n＞1，n个实数a₁，a₂，…，a_n 满足a₁+a₂+…+a_n=0，|a₁|+|a₂|+…+|a_n |=1．求证：|a₁+2a₂+3a₃+…+n|a_n|≤$\frac{n-1}{2}$．

Answer 1

分析 根据a₁+a₂+…+a_n=0，可设a_i1≤a_i2≤…≤a_is≤0≤a_j1≤a_j2≤…≤a_jt，再根据排序不等式得出：
1•a₁+2•a₂+…+n•a_n≤（1•a_i1+2•a_i2+…s•a_is）+[（s+1）•a_j1+（s+2）•a_j2+…+n•a_jt]，最后作出放缩，即可证明原命题．

解答 证明：由于a₁+a₂+…+a_n=0，不妨设a_i1≤a_i2≤…≤a_is≤0≤a_j1≤a_j2≤…≤a_jt，
即a_n中有s个非正项，有t个非负项，则有，
a₁+a₂+…+a_n=（a_i1+a_i2+…+a_is）+（a_j1+a_j2+…+a_jt）=0，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a_i1+a_i2+…+a_is）+（a_j1+a_j2+…+a_jt）=1，
解得，a_i1+a_i2+…+a_is=-$\frac{1}{2}$，a_j1+a_j2+…+a_jt=$\frac{1}{2}$，
不妨设，1•a₁+2•a₂+…+n•a_n≥0（若为负，可将每项取相反数，后面证法一致）
根据排序不等式：
1•a₁+2•a₂+…+n•a_n≤（1•a_i1+2•a_i2+…s•a_is）+[（s+1）•a_j1+（s+2）•a_j2+…+n•a_jt]
≤1•（a_i1+a_i2+…+a_is）+n•（a_j1+a_j2+…+a_jt）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{n-1}{2}$，
因此，|1•a₁+2•a₂+…+n•a_n|≤$\frac{n-1}{2}$，证毕．

点评 本题主要考查了运用排序不等式证明不等式，涉及到绝对值的处理和合理的放缩，充分考查了分析，处理问题的能力，属于难题．