Question

3．设a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$，g（x）=1+log_a（x-1），两函数的定义域分别为集合A、B，若将A∩B记作区间D．
（1）试求函数f（x）在D上的单调性；
（2）若[m，n]⊆D，函数f（x）在[m，n]上的值域恰好为[g（n），g（m）]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）变形得出f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$），据复合函数单调性可以判断．
（2）函数f（x）在[m，n]上的值域恰好为[g（n），g（m）]，
g（x）单调递减函数．得出0＜a＜1，再利用函数性质得出1$-\frac{6}{x+3}$=a（x-1）有2个根，分离参数利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）∵设a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$，
g（x）=1+log_a（x-1），
∴$\frac{x-3}{x+3}$＞0即x＞3或x＜-3
x-1＞0，x＞1
∴A={x|x＞3或x＜-3}
B+{x|x＞1}
∴D=（3，+∞）
∵函数f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$，
∴f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$），
∵u（x）=1$-\frac{6}{x+3}$在（3，+∞）上单调递增
∴据复合函数单调性得出：
当a＞1时，f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$）为增函数；
当0＜a＜1时，f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$）为减函数；
（2）∵函数f（x）在[m，n]上的值域恰好为[g（n），g（m）]，
∴g（x）单调递减函数，
∴0＜a＜1，
∴当0＜a＜1时，f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$）为减函数
∴1$-\frac{6}{x+3}$=a（x-1）有2个根，
即$\frac{1}{a}$=（x-3）$+\frac{12}{x-3}$+8，x＞3
根据不等式得出：（x-3）$+\frac{12}{x-3}$+8≥4$\sqrt{3}$+8
$\frac{1}{a}$≥4$\sqrt{3}$+8，
∴0＜a≤$\frac{1}{4\sqrt{3}+8}$

点评 本题考察了函数的性质，不等式，构造思想，转化思想，属于中档题．