Question

19．若向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow a-4\overrightarrow b}|=2\sqrt{7}$，则向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 把已知向量等式两边平方，代入数量积公式可求夹角．

解答 解：设向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow a-4\overrightarrow b}|=2\sqrt{7}$，
∴$|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{\overrightarrow{b}}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-8|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ+16|\overrightarrow{b}{|}^{2}=28$．
则4-8×2×1cosθ+16×1=28，解得cosθ=$-\frac{1}{2}$．
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题．