题目内容

8．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠$\frac{π}{2}$）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0），若点M的极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

分析 （Ⅰ）消去参数得到直线l的普通方程、利用极坐标与直角坐标的互化方法，求出曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为x+y-1=0，与x2=4y联立可得x2+4x-4=0，求出Q的坐标，即可求|PQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）倾斜角为α（α≠$\frac{π}{2}$）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y=tanα（x-1）．
曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0，直角坐标方程x2=4y；
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为x+y-1=0，与x2=4y联立可得x2+4x-4=0，
∴线段AB的中点的横坐标为-2，纵坐标为3，即Q（-2，3），
∴|PQ|=$\sqrt{（1+2）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

练习册系列答案
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