Question

数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+4sin²

nπ

2

，n=1，2，3，…，
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆；
（2）设S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，分别求S_k，T_k关于k的表达式；
（3）设W_k=

2Sk

2+Tk

，求使W_k＞1的所有k的值，并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推式直接求a₃，a₄，a₅，a₆；
（2）根据S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，即可求S_k，T_k关于k的表达式；
（3）求出W_k=

2Sk

2+Tk

，解不等式W_k＞1即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a₁=0，a₂=2，
∴a3=(1+cos2

π

2

)a1+4sin2

π

2

=4，a4=(1+cos2

2π

2

)a2+4sin2

2π

2

=4，a5=(1+cos2

3π

2

)a3+4sin2

3π

2

=8，a6=(1+cos2

4π

2

)a4+4sin2

4π

2

=8．
（2）当n=2k-1（k∈N^*）时，a2k+1=(1+cos2

2k-1

2

π)a2k-1+4sin2

2k-1

2

π=a2k-1+4，
∴{a_2k-1}是以0为首项，4为公差的等差数列，则a_2k-1=4（k-1），
当n=2k（k∈N^*）时，a2k+2=(1+cos2

2k

2

π)a2k+4sin2

2k

2

π=2a2k，
∴{a_2k}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a2k=2k，
∴{a_n}的通项公式为an=

2(n-1)，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=0+4+…+4（k-1）=2k（k-1），Tk=a2+a4+…+a2k=2+22+…+2k=2k+1-2，
（3）Wk=

2Sk

2+Tk

=

4k(k-1)

2k+1

=

k(k-1)

2k-1

，
于是W1=0，W2=1，W3=

3

2

，W4=

3

2

，W5=

5

4

，W6=

15

16

．
下面证明：当k≥6时，W_k＜1．
事实上，当k≥6时，Wk+1-Wk=

(k+1)k

2k

-

k(k-1)

2k-1

=

k(3-k)

2k

＜0，即W_k+1＜W_k，
又W₆＜1，∴当k≥6时，W_k＜1．
∵W₁=0，W₂=1，不满足W_k＞1
∴满足W_k＞1的k的值为3，4，5．

点评：本题主要考查数列的应用，要求熟练掌握等比数列和等差数列的相关公式，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．