Question

已知实数x，y满足条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）的最大值为9，则4a+b的最小值为（　　）

• A、

  16

  9

• B、16
• C、4
• D、

  4

  3

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合确定目标函数的最优解，利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+bz，
∵a＞0，b＞0，∴y=-

a

b

x+bz的斜率k=-

a

b

＜0，
平移直线y=-

a

b

x+bz，由图象可知当直线y=-

a

b

x+bz经过点B时，直线y=-

a

b

x+bz的截距最大，此时z最大，
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

，解得

x=1 y=4

，即B（1，4），
此时

1

a

+

4

b

=9，即

1

9a

+

4

9b

=1，
则4a+b=（4a+b）（

1

9a

+

4

9b

）=

4

9

+

4

9

+

b

9a

+

16a

9b

≥

8

9

+2

b 9a • 16a 9b

=

8

9

+

8

9

=

16

9

，
当且仅当

b

9a

=

16a

9b

，即b=4a时，取等号，
故选：A．

点评：本题主要考查线性规划和基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．