Question

10．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB，M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{7}{10}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 如图所示，取AC的中点D，A₁C₁的中点D₁，建立空间直角坐标系．利用$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BN}＞$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{BN}|}$，即可得出．

解答 解：如图所示，取AC的中点D，A₁C₁的中点D₁，建立空间直角坐标系．
不妨设AC=2．则A（0，-1，0），M（0，0，2），B（-$\sqrt{3}$，0，0），
N$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$．
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），$\overrightarrow{BN}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$．
∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BN}＞$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{7}{10}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．