Question

19．已知函数f（x）=x³+ax²-4x+c，g（x）=lnx+（b-1）x+4，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y+1=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对?x₁∈[-3，0]，?x₂∈[0，+∞）恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出a，c，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对?x₁∈[-3，0]，?x₂∈[0，+∞）恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于f（x）_min≥g（x）_max，即可求b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-4x+c，
∴f′（x）=3x²+2ax-4，∴f′（1）=2a-1=3，∴a=2
将切点（1，4）代入函数f（x），可得c=5，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（Ⅱ）令f′（x）=（x+2）（3x-2）＞0，可得x＜-2，f′（x）＞0，-2＜x＜0，f′（x）＜0，
∵f（-3）=8，f（0）=5，
∴?x₁∈[-3，0]，f（x）_min=f（0）=5，
∵g（x）=lnx+（b-1）x+4，∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+b-1，
b-1≥0，b≥1，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，没有最大值，不合题意，舍去；
b-1＜0，b＜1，令g′（x）=0，x=$\frac{1}{1-b}$，
∴x∈（0，$\frac{1}{1-b}$），g′（x）＞0，∴g（x）单调递增，
x∈（$\frac{1}{1-b}$，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g_max（x）=ln$\frac{1}{1-b}$+3，
∴5≥ln$\frac{1}{1-b}$+3，
∴b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，属于中档题．