Question

18．已知方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+5-2m=0（m∈R）．
（1）求方程表示一条直线的条件；
（2）当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；
（3）若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3=0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，得：m=-1，方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+5-2m=0（m∈R）表示直线，可得m²-2m-3、2m²+m-1不同时为0，即可得出．
（2）方程表示的直线与x轴垂直，可得$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3≠0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，
（3）当5-2m=0，即$m=\frac{5}{2}$时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0．当$m≠\frac{5}{2}$时，由$\frac{2m-5}{{{m^2}-2m-3}}=\frac{2m-5}{{2{m^2}+m-1}}$，解得：m．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3=0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，得：m=-1（12分）
∵方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+5-2m=0（m∈R）表示直线
∴m²-2m-3、2m²+m-1不同时为0，∴m≠-1．（4分）
（2）方程表示的直线与x轴垂直，∴$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3≠0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，∴$m=\frac{1}{2}$．（6分）
（3）当5-2m=0，即$m=\frac{5}{2}$时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0（8分）
当$m≠\frac{5}{2}$时，由$\frac{2m-5}{{{m^2}-2m-3}}=\frac{2m-5}{{2{m^2}+m-1}}$得：m=-2．（10分）

点评 本题考查了直线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、截距，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题．