Question

20．在△ABC中，设$\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinC}{sinA}=2，tanA+tanB=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$．
（Ⅰ）求B 的值
（Ⅱ）求$\frac{{b}^{2}}{ac}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由商的关系、两角和的正弦公式化简$tanA+tanB=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，由诱导公式求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角B；
（Ⅱ）由正弦定理化简$\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinC}{sinA}=2$，化简后求出a和c的关系，由余弦定理表示出b²，代入$\frac{{b}^{2}}{ac}$求值．

解答 解：（Ⅰ）∵$tanA+tanB=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，
∴$\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，
$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{cosAcosB}=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，
$\frac{sin（A+B）}{cosB}=\sqrt{2}sinC$，
又sin（A+B）=sinC≠0，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵$\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinC}{sinA}=2$，
∴由正弦定理得，$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=2$，
则$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}=2$，即a²+c²=2ac，
化简得，a=c，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB
=2a²-$\sqrt{2}$a²=（2-$\sqrt{2}$）a²，
∴$\frac{{b}^{2}}{ac}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2$-\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，商的关系、两角和的正弦公式，以及诱导公式的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．