Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且∠CBE=90°，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）
（1）能否说明对任意a∈(0，

2

)，恒有MN∥平面CBE？
（2）当a为何值时，MN的长最短？

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，证明MNQP是平行四边形．然后证明MN∥平面CBE且与a的大小关系无关．
（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，脱光光

CP

1

=

a

2

，

BQ

1

=

a

2

，求出MN的表达式，然后求解最小值．

解答： 解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，
依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．
PQ?平面CBE，MN?平面CBE，MN∥平面CBE且与a的大小关系无关．
（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，AC=BF=

2

，

CP

1

=

a

2

，

BQ

1

=

a

2

，CP=BQ=

2

2

a
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2)

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

=

1- 2 a+a2

，（0＜a＜

2

）
∴当a=

2

2

，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为

2

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间两点间距离公式求解最值问题，考查空间想象能力以及计算能力．