Question

7．已知正数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤0}\\{x-3y+5≥0}\end{array}\right.$，则$z={（\frac{1}{2}）^{2x+y}}$的最小值为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，令t=2x+y，化为y=-2x+t，数形结合求得t的最大值，进一步求得$z={（\frac{1}{2}）^{2x+y}}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x＞0，y＞0}\\{2x-y≤0}\\{x-3y+5≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-3y+5=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2）．
令t=2x+y，化为y=-2x+t，
由图可知，当直线y=-2x+t过A时，t有最大值为4．
∴$z={（\frac{1}{2}）^{2x+y}}$的最小值为$\frac{1}{16}$．
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．