Question

设x，y，z∈R₊，x²+y²+z²=1，则S=

(1+z)2

2xyz

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得1-z²=x²+y²，根据基本不等式x²+y²≥2xy，化简即可．

解答： 解：由题意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
S=

(1+z)2

2xyz

≥

(1+z)2

(x2+y2)z

=

(1+z)2

(1-z2)z

=

1+z

(1-z)z

，
令t=1+z＞1，则S=

t

-t2+3t-2

=

1

3-(t+ 2 t )

≥

1

3-2 2

=3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本小题主要考查基本不等式的应用、配凑法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．