Question

已知f（x）=a+

1

4x+1

，对任意x∈R时，f（x）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）判断f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（0）=a+

1

2

=0故可解得a=-

1

2

；
（2）4^x＞0，∴4^x+1＞1，从而有0＜

1

4x+1

＜1，故-

1

2

＜-

1

2

+

1

4x+1

＜

1

2

；
（3）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＞0即可；

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=a+

1

2

=0，∴a=-

1

2

．
（2）∵f（x）=-

1

2

+

1

4x+1

，∵4^x＞0，∴4^x+1＞1，
∴0＜

1

4x+1

＜1，∴-

1

2

＜-

1

2

+

1

4x+1

＜

1

2

，
∴f（x）值域为（-

1

2

，

1

2

）．
（3）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

1

4x1+1

-

1

4x2+1

=

4x2-4x1

(4x1+1)(4x2+1)

∵x₁＜x₂，∴4^x2-4^x1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R内单调递减．

点评：本题主要考察了函数单调性的判断与证明，函数的值域的求法，函数单调性的性质，属于中档题．