题目内容
已知正数a，b满足a+b=2．
（1）求ab的取值范围；
（2）求4ab+
的最小值；
（3）求ab+
的最小值．
（1）求ab的取值范围；
（2）求4ab+
| 1 |
| ab |
（3）求ab+
| 4 |
| ab |
考点：基本不等式
专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用
分析：（1）利用基本不等式的性质即可得出；
（2）利用基本不等式的性质即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（2）利用基本不等式的性质即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
解答：
解：（1）∵a，b＞0，
∴2=a+b≥2
，解得0＜ab≤1．
∴ab的取值范围是（0，1]；
（2）由（1）可知：ab∈（0，1]，令ab=t，则4t+
≥2
=4，当且仅当t=
时取等号，
∴4ab+
的最小值是4；
（3）令ab=t，则ab+
=t+
=f（t），由（1）可得t∈（0，1]．
∵f′(t)=1-
=
＜0，∴函数f（t）在t∈（0，1]单调递减，
因此当t=1时，函数f（t）取得最小值，f（1）=1+4=5．
即ab+
取得最小值5．
∴2=a+b≥2
| ab |
∴ab的取值范围是（0，1]；
（2）由（1）可知：ab∈（0，1]，令ab=t，则4t+
| 1 |
| t |
4t•
|
| 1 |
| 2 |
∴4ab+
| 1 |
| ab |
（3）令ab=t，则ab+
| 4 |
| ab |
| 4 |
| t |
∵f′(t)=1-
| 4 |
| t2 |
| t2-4 |
| t2 |
因此当t=1时，函数f（t）取得最小值，f（1）=1+4=5．
即ab+
| 4 |
| ab |
点评：本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．
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