Question

已知两条射线OA，OB的方程分别为y=

3

x（x≥0）和y=-

3

x（x≥0），线段CD的两端分别在OA，OB上滑动，若CD=4

3

，求线段CD的中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由题意，设P（x，y），C（m，

3

m），D（n，-

3

n），m，n≥0，由中点坐标公式可得

m+n

2

=x，

3 m- 3 n

2

=y；再代入|CD|=

(m-n)2+( 3 m+ 3 n)2

=4

3

求解．

解答： 解：由题意，设P（x，y），C（m，

3

m），D（n，-

3

n），m，n≥0；
则

m+n

2

=x，

3 m- 3 n

2

=y；
则m+n=2x，
m-n=

2 3

3

y；
则又∵|CD|=

(m-n)2+( 3 m+ 3 n)2

=4

3

；
故（m-n）²+3（m+n）²=48，
则

4

3

y²+12x²=48；
故

y2

36

+

x2

4

=1，（x≥0）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，属于中档题．