Question

已知△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=a，A，B分别在x轴，y轴正半轴，求C点在第一象限的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图，设C（x，y），A（m，0），B（0，n）；则0＜m＜a；0＜n＜a；x＞0，y＞0；利用x，y表示出m，n，代入m²+n²=a²得到C点在第一象限的轨迹方程．

解答： 解：如图，设C（x，y），A（m，0），B（0，n）；
则0＜m＜a；0＜n＜a；x＞0，y＞0；
∵

n-0

0-m

•

y-n

x

=-1，
∴mx=n（y-n）＞0，
∴y＞n；
又∵x²+（y-n）²=a²，
∴y-n=

a2-x2

；
故n=y-

a2-x2

；
则m=

a2-x2 y-(a2-x2)

x

；
又由m²+n²=a²得，
（

a2-x2 y-(a2-x2)

x

）²+（y-

a2-x2

）²=1
即

a2

x2

（y-

a2-x2

）²=1，
则y=

a2-x2

+

x

a

，（0＜x＜a）．

点评：本题考查了学生的作图能力及化简运算能力，属于中档题．