Question

2．一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中α为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（　　）

• A． 2或3
• B． 2$\sqrt{3}$或3
• C． 1或3
• D． 2或2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据正四棱柱的底面边长是1还是$\sqrt{3}$，分两种情况计算．

解答 解：由俯视图可知正四棱柱的底面边长为1，高为$\sqrt{3}$或底面边长为$\sqrt{3}$，高为1，
由俯视图可知主视图矩形的一边长为$\sqrt{3}$cosα+sinα=2sin（α+$\frac{π}{3}$），
（1）若正四棱柱的底面边长为1，高为$\sqrt{3}$，

则正视图的面积S=1•2sin（α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$），
∴当α=$\frac{π}{6}$时，正视图的面积最大，最大面积为2．
（2）若正四棱柱的底面边长为$\sqrt{3}$，高为1，

则正视图的面积S=$\sqrt{3}$•2sin（α+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{3}$），
∴当α=$\frac{π}{6}$时，正视图的面积最大，最大面积为2$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了棱柱的三视图，属于中档题．