Question

4．给出下列四个关于数列命题：
（1）若{a_n}是等差数列，则三点$（10，\frac{{{S_{10}}}}{10}）$、$（100，\frac{{{S_{100}}}}{100}）$、$（110，\frac{{{S_{110}}}}{110}）$共线；
（2）若{a_n}是等比数列，则S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比数列；
（3）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意的n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为-1．
（4）对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为数列{a_n}的“差数列”，若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，则数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通过判断{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是否为等差数列判断（1）；令公比为-1判断（2）；通过计算a_n判断（3）；累加法计算a_n得出通项公式，通过求和公式计算判断（4）．

解答 解：（1）若{a_n}是等差数列，则S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$，∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁-$\frac{d}{2}$+$\frac{d}{2}$n，
即$\frac{{S}_{n}}{n}$是关于n的一次函数，∴{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列，
∴三点$（10，\frac{{{S_{10}}}}{10}）$、$（100，\frac{{{S_{100}}}}{100}）$、$（110，\frac{{{S_{110}}}}{110}）$共线，故（1）正确；
（2）若{a_n}是公比为-1的等比数列，当m为偶数时，有S_m=S_2m=S_3m=0，显然结论错误；故（2）错误；
（3）S_n=bⁿ+r，当n=1时，a₁=S₁=b+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）=bⁿ-b^n-1=（b-1）b^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，所以r=-1，故（3）正确；
（4）n=1时，a₁=2；
当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ；
∴S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，故（4）正确．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的判断与性质，属于中档题．