Question

15．已知过点A（0，3）的圆C，圆心在y轴的负半轴上，且半径为5．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点M（-3，-3）的直线l被圆C的所截得的弦长为$4\sqrt{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆C的圆心坐标为（0，b）（b＜0），则圆的标准方程为x²+（y-b）²=25，代入点的坐标求解b，然后求出圆的方程．
（2）设直线l的方程为y+3=k（x+3），求出圆心C坐标为（0，-2），半径为5，利用点到直线的距离公式转化求解即可．

解答 解：（1）由题意可设圆C的圆心坐标为（0，b）（b＜0），则圆的标准方程为x²+（y-b）²=25，
将点A（0，3）代入，得（3-b）²=25，解得b=-2，或b=8（不合题意）
故所求圆C的标准方程为x²+（y+2）²=25．…（6分）
（2）由题意，可设直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，…（7分）
又由（1）得圆心C坐标为（0，-2），半径为5，
则$\frac{{|{2+3k-3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{{5^2}-{{（{\frac{{4\sqrt{5}}}{2}}）}^2}}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，或k=2，…（10分）
所以所求直线l的方程为$y+3=-\frac{1}{2}×（{x+3}）$，或y+3=2×（x+3）．…（11分）
即x+2y+9=0，或2x-y+3=0．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．