Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N^*
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设c_n=

2

n+1

an，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）把a_n+1=1-

1

4an

代入b_n=

2

2an-1

，直接利用等差数列的定义证明数列{b_n}是等差数列，求出其通项公式后可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）把（1）中求得的数列{a_n}的通项公式代入c_n=

2

n+1

an，然后利用裂项相消法求数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，放缩后得答案．

解答： 证明：（1）∵a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，
∴bn+1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)，
∴数列{b_n}是等差数列．
∵a₁=1，
∴b1=

2

2a1-1

=2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
由b_n=

2

2an-1

，得2an-1=

2

bn

=

1

n

，
∴an=

n+1

2n

，
（2）c_n=

2

n+1

an=

1

n

，
cncn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
T_n=c₁c₂+c₂c₄+c₃c₅+…+c_nc_n+2
=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．