Question

已知函数f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）．
（1）求函数f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的取值集合；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（3）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（C）=0，a=

3

，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角形的面积公式

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）首先可以根据函数的解析式f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）直接利用函数相应的性质，求得函数f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的取值集合，
（2）同样可以利用具体的性质求得函数的最小正周期和单调递增区间．
（3）利用（1）函数f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）先求的C的大小，然后利用三角形的面积公式求的结果．

解答： 解：（1）已知函数f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

） 则：f（x）的最小值为-

3

2

此时2x+

π

3

=2kπ-

π

2

 （k∈Z）解得：x=kπ-

5π

12

 （k∈Z）
所以相应的x的取值集合为：{x|x=x=kπ-

5π

12

 （k∈Z）}
（2）根据正弦型函数的最小正周期公式：
T=

2π

2

=π
利用整体思想函数的单调递增区间：
2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 （k∈Z）
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

  （k∈Z）
所以函数的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（3）由题意知f（C）=0
∴

3

2

sin(2C+

π

3

)=0
∴sin(2C+

π

3

)=0
∵C为三角形的内角
∴0＜C＜π
则

π

3

＜2C+

π

3

＜2π+

π

3

解得：C=

π

3

或C=

5π

6

由于a=

3

，b=2
①当C=

π

3

时，根据三角巷的面积公式：
S_△=

1

2

absinC=

3

2

②当C=

5π

6

时，根据三角巷的面积公式：
S_△=

1

2

absinC=

3

2

点评：本题考查的知识点：正弦型三角函数函数的最值，最小正周期，单调递增区间，以及解三角形的面积公式，要准确加以记忆．