Question

已知函数f（x）=x²+mx+n，且函数f（x）的图象关于直线x=2对称．
（1）求实数m的值；
（2）设g（x）=2sin（

πx

6

+

π

3

），若对任意x₁，x₂∈[-1，1]．f（x₂）＜g（x₁）恒成立，求n的取值范围；
（3）讨论方程[f（x）-n]=2n+1的实根个数．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）的图象关于直线x=2对称，得-

m

2

=2，求出即可；
（2）由（1）得：f（x）=（x-2）²+n-4，问题转化为对任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₂）_max＜g（x₁）_min恒成立，求出f（x）_max，g（x）_min，从而问题解决；
3）方程[f（x）-n]=2n+1可化为|x²-4x|=2n+1，画出函数h（x）=|x²-4x|，通过讨论2n+1的范围，进而得到根的个数．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
∴-

m

2

=2，即m=-4；
（2）由（1）得：f（x）=（x-2）²+n-4，
∵对任意x₁，x₂∈[-1，1]．f（x₂）＜g（x₁）恒成立，
∴x₁，x₂∈[-1，1]时，f（x₂）_max＜g（x₁）_min恒成立，
又∵f（x）在[-1，1]递减，g（x）在[-1，1]递增，
∴x₁，x₂∈[-1，1]时：
f（x）_max=f（-1）=n+5，g（x）_min=g（-1）=1，
∴n+5＜1，
∴n＜-4；
（3）方程[f（x）-n]=2n+1可化为|x²-4x|=2n+1，
令h（x）=|x²-4x|，画出函数图象：
，
∴当2n+1＜0，即n＜-

1

2

时，方程无实根，
当2n+1=0，即n=-

1

2

时，方程有2个实根，
当2n+1＞4，即n＞

3

2

时，方程有2个实根，
当2n+1=4，即n=

3

2

时，方程有3个实根，
当0＜2n+1＜4，即-

1

2

＜n＜

3

2

时，方程有4个实根．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，本题属于中档题．