Question

已知关于x的方程

|x2-1|

x-1

+2-

k

x

=0有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：方程即k=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

．结合题意可得直线y=k和函数f（x）=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

 的图象有2个交点，数形结合可得结论．

解答： 解：由关于x的方程

|x2-1|

x-1

+2-

k

x

=0有两个不同的实数解，可得x≠1，且 x≠0，
当x＞1时，方程即 k=x（x+3），
当-1＜x＜1时，且x≠0时，方程即 k=x（1-x），
当x≤-1时，方程即 k=x（x+3）．
综上可得，当x＞1时或x≤-1时，方程即 k=x（x+3）；当-1＜x＜1时，且x≠0时，方程即 k=x（1-x）．
方程即k=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

．
结合题意可得直线y=k和函数f（x）=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

 的图象有2个交点，
如图所示：当x=

1

2

，f（x）=

1

4

；当x=-

3

2

时，f（x）=-

9

4

，当x＞1时，f（x）＞4．
故满足条件的k的范围为{k|k＞4，或 k=

1

4

，或-

9

4

＜k≤0}，
故答案为：{k|k＞4，或 k=

1

4

，或-

9

4

＜k≤0}．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．