Question

3．某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．
（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；
（2）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；
（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．

解答 解：（ I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，
设事件A=“恰有1位女棋手”，则$P（A）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$，…（4分）
所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为$\frac{12}{35}$．…（5分）
（ II）随机变量X的所有可能取值为0，2，4．其中$P（{X=0}）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$，$P（{X=2}）=\frac{C_3^1C_4^3+C_3^3C_4^1}{C_7^4}=\frac{16}{35}$，$P（{X=4}）=\frac{C_3^0C_4^4}{C_7^4}=\frac{1}{35}$．…（9分）
所以，随机变量X分布列为

X	0	2	4
P	$\frac{18}{35}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{1}{35}$

随机变量X的数学期望$E（X）=0×\frac{18}{35}+2×\frac{16}{35}+4×\frac{1}{35}=\frac{36}{35}$．…（13分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．