题目内容

3．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份2007200820092010201120122013
年份代号t1234567
人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$．

分析 （Ⅰ）根据题目中的数据，计算$\overline{t}$、$\overline{y}$与$\sum_{i=1}^{7}$${{（t}_{i}-\overline{t}）}^{2}$和$\sum_{i=1}^{7}$（ti-$\overline{t}$）（yi-$\overline{y}$）的值，
利用公式求出$\stackrel{∧}{b}$与$\widehat{a}$的值，写出线性回归方程；
（Ⅱ）根据线性回归方程中$\stackrel{∧}{b}$=0.5＞0，得出结论是人均纯收入逐年增加以及平均每年增加的值，
将2017年的年份t的值代人线性回归方程，求出$\stackrel{∧}{y}$的值，即可预测该地区2017年的农村家庭人均纯收入．

解答 解：（Ⅰ）根据题目中的数据，得；
$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
$\sum_{i=1}^{7}$${{（t}_{i}-\overline{t}）}^{2}$=9+4+1+0+1+4+9=28，
$\sum_{i=1}^{7}$（ti-$\overline{t}$）（yi-$\overline{y}$）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+0.5+2×0.9+3×1.6=14；
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{14}{28}$=0.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$=4.3-0.5×4=2.3，
y关于t的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.5t+2.3；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的线性回归方程，$\stackrel{∧}{b}$=0.5＞0，
得出2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，
将2017年的年份t=11代人线性回归方程，得$\stackrel{∧}{y}$=0.5×11+2.3=7.8，
预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．

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