Question

12．PA⊥矩形ABCD所在的平面，且AB=a，AD=b．问：在BC边上是否存在一点E，使DE⊥平面PAE？若不存在，说明理由；若存在，求出恰有一点时E的位置．

Answer 1

分析 以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．

解答 证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图．…（1分）
∵四边形ABCD为矩形，且AD=b，AB=a，设BE=y（0＜y＜b），PA⊥平面ABCD，
E为线段BC的中点，
∴A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，b，0），E（a，y，0），P（0，0，z）
$\overrightarrow{DE}$=（a，y-b，0），$\overrightarrow{AE}$=（a，y，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，Z），$\overrightarrow{PE}$=（a，y，-z），
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，
∴使DE⊥平面PAE，则DE⊥PE，即：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}$=a²+y（y-b）=0，整理可得：y²-by+a²=0，
∴△=b²-4a²≥0时，即b≥2a时，方程有解，y=$\frac{b±\sqrt{{b}^{2}-4{a}^{2}}}{2}$，
故当b≥2a时，在BC边上存在一点E，（此时，BE=$\frac{b±\sqrt{{b}^{2}-4{a}^{2}}}{2}$），使DE⊥平面PAE．

点评 本题考查线线垂直，考查满足条件的点的存在性的探索，考查学生分析解决问题的能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．属于中档题．