Question

1．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+$\root{3}{x}$）．求：
（1）f（-8）；
（2）f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据解析式先求出f（8），由奇函数的性质求出f（-8）；
（2）设x＜0则-x＞0，代入解析式化简得f（-x），由奇函数的性质求出f（x），利用分段函数表示出
f（x）．

解答 解：（1）∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+$\root{3}{x}$），
∴f（8）=8×（8+$\root{3}{8}$）=80，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-8）=-f（8）=-80；
（2）设x＜0，则-x＞0，
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（x+$\root{3}{x}$），
∴f（-x）=-x（-x-$\root{3}{x}$）=x（x+$\root{3}{x}$），
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x（x+$\root{3}{x}$），
综上得，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（x+\root{3}{x}），x≥0}\\{-x（x+\root{3}{x}），x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用函数奇偶性的性质求函数值和解析式，考查转化思想，属于基础题．