Question

10．函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），则当x∈（3，4）时，f（x）为（　　）

• A． 增函数且f（x）＞0
• B． 增函数且f（x）＜0
• C． 减函数且f（x）＞0
• D． 减函数且f（x）＜0

Answer 1

分析 根据奇函数的性质、函数图象的对称轴求出函数的周期，由题意、函数的奇偶性、周期性、对称性画出函数的图象，由图象可得答案．

解答 解：∵函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，
∴f（x）=-f（-x），f（2-x）=f（x），
∴-f（x-2）=f（x），则f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=f（x），∴函数的周期是4，
又当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），
画出函数的图象如图所示：
由图可得，
当x∈（3，4）时，f（x）为增函数且f（x）＜0，
故选B．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数的周期性以及对称性的综合应用，求出函数的周期是解题关键，考查数形结合思想，属于中档题．