题目内容

12．函数f（x）=x|sinx+a|+b（a，b∈R）是奇函数的充要条件是（　　）
A．ab=0B．a+b=0C．a=bD．a2+b2=0

分析 由奇函数的性质得到f（0）=0，所以得到b=0，再结合奇函数的定义f（-x）=-f（x）解出a=0即可得到答案．

解答 解：因为函数的定义域为R，所以f（0）=0．
所以b=0．
所以f（x）=x|sinx+a|．
因为函数f（x）是奇函数，
所以f（-x）=-f（x）即-x|-sinx+a|=-x|sinx+a|，
所以|-sinx+a|=|sinx+a|，所以a=0．
故选：D．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握奇函数的定义以及判断充要条件时实际就是解题的等价过程，充要条件的判断一般与其他知识相结合出现在选择题或填空题中．

练习册系列答案
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②若f（-1）＜f（0）＜f（1）＜f（2），则y=f（x）是D上的递增函数；
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（Ⅲ）在4次比赛中，若甲、乙两人的平均环数相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）

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