Question

已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质

（1）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由

（2）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由

Answer 1

【解析】
（1）由于3﹣1和3+1都不属于集合{0，1，3}，所以该集合不具有性质P；

由于2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6都属于集合{0，2，4，6}，

所以该数集具有性质P．…（4分）

（2）∵A={a1，a2，…，a8}具有性质P，所以a8+a8与a8﹣a8中至少有一个属于A，

由0≤a1＜a2＜…＜a8，有a8+a8＞a8，故a8+a8∉A，∴0=a8﹣a8∈A，故a1=0．

∵0=a1＜a2＜…＜a8，∴a8+ak＞a8，故a8+ak∉A（k=2，3，…，8）．

由A具有性质P知，a8﹣ak∈A（k=2，3，…，8）．

又∵a8﹣a8＜a8﹣a7＜…＜a8﹣a2＜a8﹣a1，

∴a8﹣a8=a1，a8﹣a7=a2，…，a8﹣a2=a7，a8﹣a1=a8，即ai+a9﹣i=a8（i=1，2，…，8）．…①

由a2+a7=a8知，a3+a7，a4+a7，…，a7+a7均不属于A，

由A具有性质P，a7﹣a3，a7﹣a4，…，a7﹣a7均属于A，

∴a7﹣a7＜a7﹣a6＜…＜a7﹣a4＜a7﹣a3＜a8﹣a3 ，

∴a7﹣a7=0，a7﹣a6=a2，a7﹣a5=a3，…，a7﹣a3=a5，即 ai+a8﹣i=a7（i=1，2…7）．…②

由①②可知ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣（a7﹣ai﹣1） （i=1，2…7，8），

即ai﹣ai﹣1=a8﹣a7（i=2，3，…，8）．

故a1，a2，…a8构成等查数列．…（10分）

【解析】

试题分析：（1）根据数集A具有性质P的定义，判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P．

（2）根据数集A={a1，a2…a8}具有性质P，可得ai+a9﹣i=a8 …①，ai+a8﹣i=a7 …②，由①②可知ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣（a7﹣ai﹣1），即ai﹣ai﹣1=a8﹣a7，从而得到a1，a2，…a8构成等查数列．

考点：新定义；等差数列与等比数列。