Question

若函数f（x）=log

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2

（x²-ax+1）
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围；
（3）若函数在（-∞，1-

3

）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由对数的真数大于零和题意得：x²-ax+1＞0对任意x∈R都成立，则△＜0，再求出实数a的取值范围；
（2）函数f（x）的值域为R，说明对数的真数取到所有的正数，可得△≥0，求出实数a的取值范围；
（3）设t=x²-ax+1，由复合函数单调性、对数的真数大于零列出不等式组，求出a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得，x²-ax+1＞0对任意x∈R都成立，
则△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2
所以a的取值范围是（-2，2）；
（2）要使函数的值域是R，只要△=a²-4≥0，得a≤-2或a≥2，
所以a的取值范围（-∞，-2]∪[2，+∞）；
（3）设t=x²-ax+1，则函数y=log

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2

t（t＞0）在定义域上是减函数，
因为函数f（x）在（-∞，1-

3

）上是增函数，
所以函数t=x²-ax+1在（-∞，1-

3

）上是减函数，
则

a 2 ≥1- 3 f(1- 3 )=(1- 3 )2-a(1- 3 )+1≥0

，
解得a≥2（1-

3

），
所以a的取值范围是[2（1-

3

），+∞）．

点评：本题考查对数函数的性质，复合函数单调性，掌握对数函数的性质及一元二次函数的性质是解决本题的关键．