Question

已知-1≤x+y≤4，且2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是

 

（用区间表示）．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：法一：利用不等式的性质进行求解，
法二：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：法1：∵z=-

1

2

（x+y）+

5

2

（x-y），
∴3≤-

1

2

（x+y）+

5

2

（x-y）≤8，
∴z∈[3，8]．
法2：由z=2x-3y得y=

2

3

x-

z

3

，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=

2

3

x-

z

3

，由图象可知当直线y=

2

3

x-

z

3

，过点C（1，-2）时，直线y=

2

3

x-

z

3

截距最小，此时z最大，
代入目标函数z=2x-3y，
得z=2×1-3×（-2）=8．
当直线y=

2

3

x-

z

3

，过点A（3，1）时，直线y=

2

3

x-

z

3

截距最大，此时z最小，
代入目标函数z=2×3-3=3，
∴z∈[3，8]．
故答案为：[3，8]．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．也可以利用不等式的性质进行求解．