Question

15．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，当AB⊥x轴，称|AB|为双曲线的通径．若过焦点F的所有焦点弦AB中，其长度的最小值为$\frac{2{b}^{2}}{a}$，则此双曲线的离心率的范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a．由2a≥$\frac{2{b}^{2}}{a}$，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到范围．

解答 解：当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，
可得双曲线的通径最小，令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有最小值为$\frac{2{b}^{2}}{a}$；
当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，
即为实轴，最小为2a．
由题意可得2a≥$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
即为a²≥b²=c²-a²，
即有c≤$\sqrt{2}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$∈（1，$\sqrt{2}$]．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意讨论双曲线与焦点弦的位置关系，求得最小值，考查运算能力，属于中档题．