Question

6．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$，1），（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$的坐标求得|$\overrightarrow{a}$|，再由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$|\overrightarrow{b}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，联立即可求得|$\overrightarrow{b}$|．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$，1），
∴$|\overrightarrow{a}|=2$．
由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，
得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，①
$|\overrightarrow{b}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，②
①-②×2得：$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，则$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2}}=\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是熟记数量积公式，是中档题．