题目内容
已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1．
（1）求C1到AB的距离；
（2）求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
（1）求C1到AB的距离；
（2）求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由已知条件推导出CC1⊥面ABCD，CC1⊥CM，AD⊥AB，CM⊥AB，由三垂线定理得C1M就是C1到直线AB的距离，由此能求出结果．
（2）由AB∥CD，得∠C1BM就是BC1与CD所成的角，由此能求出异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
（2）由AB∥CD，得∠C1BM就是BC1与CD所成的角，由此能求出异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解答：
解：（1）∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴CC1⊥面ABCD，
过C作CM∥DA交AB于M，则CC1⊥CM，
由题意知AD⊥AB，∴CM⊥AB，由三垂线定理得：C1M⊥AB，
∴C1M就是C1到直线AB的距离…（4分）
在Rt△CC1M中，C1M=
=2
，
∴C1到AB的距离为2
．…（5分）
（2）∵AB∥CD，∴∠C1BM就是BC1与CD所成的角…（7分）
在Rt△C1MB中，MB=3，C1M=2
，C1B=
，
∴cos∠C1BM=
=
．…（9分）
∴异面直线BC1与DC所成角的余弦值为
．…（10分）
过C作CM∥DA交AB于M，则CC1⊥CM，
由题意知AD⊥AB，∴CM⊥AB，由三垂线定理得：C1M⊥AB，
∴C1M就是C1到直线AB的距离…（4分）
在Rt△CC1M中，C1M=
| 22+22 |
| 2 |
∴C1到AB的距离为2
| 2 |
（2）∵AB∥CD，∴∠C1BM就是BC1与CD所成的角…（7分）
在Rt△C1MB中，MB=3，C1M=2
| 2 |
| 17 |
∴cos∠C1BM=
(
| ||||
2×
|
3
| ||
| 17 |
∴异面直线BC1与DC所成角的余弦值为
3
| ||
| 17 |
点评：本题考查点到直线的距离，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目