题目内容
在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=
，b=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积S．
| 5 |
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积S．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用正弦定理列出关系式，将a，sinC=2sinA代入，即可求出c的值；
（Ⅱ）由余弦定理表示出cosB，将三边长代入求出cosB的值，进而求出sinB的值，再由a与c的值，利用三角形面积公式即可求出S．
（Ⅱ）由余弦定理表示出cosB，将三边长代入求出cosB的值，进而求出sinB的值，再由a与c的值，利用三角形面积公式即可求出S．
解答：
解：（Ⅰ）∵a=
，sinC=2sinA，
∴由正弦定理
=
得：c=
=2a=2
；
（Ⅱ）∵a=
，b=3，c=2
，
∴由余弦定理得：cosB=
=
=
，
∴sinB=
=
，
则S△ABC=
acsinB=3．
| 5 |
∴由正弦定理
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
| asinC |
| sinA |
| 5 |
（Ⅱ）∵a=
| 5 |
| 5 |
∴由余弦定理得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 5+20-9 |
| 20 |
| 4 |
| 5 |
∴sinB=
| 1-cos2B |
| 3 |
| 5 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
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